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Bonjour Marc,
检查 signifie "examiner". D'ailleurs, dans le test HSK, le feedback traduit bien par "Veux-tu que je t'accompagne à l'hôpital pour faire des examens ?" (要不要我带你去医院检查检查？) Alors que 看病 signifie "consulter un médecin". À la question 12, comme on a déjà utilisé 看病, on peut dire 看看 et 看一下, cela a le même sens/utilisation.
Le redoublement du verbe donne une tournure plus souple à la langue parlée. C'est une expression très courante en chinois. Mais pour savoir quand l'utiliser, il n'y a pas de règle, seule la pratique (écoute, mémorisation de phrases/dialogues puis discussion avec des Chinois) vous permettra de l'utiliser à bon escient. (L'idée reste toutefois de ne pas être trop abrupte, c'est très impoli en Asie.) Dans l'apprentissage d'une langue, il faut accepter de ne pas pouvoir tout contrôler ou comprendre. Même les plus grandes linguistiques ne peuvent pas expliquer ces tournures courantes, ils peuvent juste les constater. Le seul moyen de les maîtriser et de développer la compétence intuitive de la langue. Et pour cela, il n'y a qu'un seul moyen : la pratique. La pratique passe par la répétition, dans tous les sens du terme : écoute de phrases, dialogue, film, séries, répétition orale, écriture des phrases, pratique avec des natifs. C'est un peu frustrant pour les profils très "cognitifs", mais là, pas le choix !
Cela ne veut pas dire qu'il ne faut pas demander si vous ne comprenez pas, car souvent, il y a des explications.
Bon courage !
天翔