La phrase est correcte. En chinois, on fonctionne en terme de thème-prédicat plutôt que sujet - groupe verbal. C'est un niveau plus élevé de compréhension de grammaire qui n'est pas enseignée au débutant.
Le thème est ce dont on parle : 教文化的老师 "le professeur qui enseigne la culture", et le prédicat ce que l'on dit du thème 普通话不太好 "le mandarin n'est pas trop bon".
On retrouve la même idée dans la structure du complément d'appréciation : 他汉语说得很好。 他 étant le thème et 汉语说得很好 le prédicat.
La notion du sujet + groupe verbal ne trouve pas de sens dans ces phrases.
Sinon on aurait pu dire : 教文化的老师的普通话不太好。 Ici on a bien un sujet 教文化的老师的普通话 et un groupe verbal : 不太好. Toutefois, cette phrase est moins élégante en chinois.
Pour le 们 la correction est effectuée. Merci de l'avoir signalé !